Grashof Inequality之證明

最近從書上看到了葛拉索公式的證明，覺得很有趣，就自己整理了一下打成檔案，放在網路上給大家參考。

我做的pdf檔可以從http://homepage.ntu.edu.tw/~b94202029/GrashofInequality.pdf下載。

Grashof Inequality

考慮如圖1的四連桿。若要完成一完整的旋轉，則該四連桿必須通過圖2和圖3的位置。令a為AB桿長、b為BC桿長、c為CD桿長、d為AD桿（接地桿）長。

先假設AB桿長小於接地桿桿長：

a＜d

運用三角不等式（兩邊之和大於第三邊）於圖2，可以得到

a+d＜b+c

b＜c+a+d

c＜b+a+d

再運用於圖3，可以得到

d-a＜b+c

b＜c+d-a

c＜b+d-a

再來將六個不等式之中較弱的論證去除：

1. 由於(e)式為真則保證(b)式為真，故(b)式可去除。把(e)式寫成

a+b＜c+d

2. 由於(f)式為真則保證(c)式為真，故(c)式可去除。把(c)式寫成

a+c＜b+d

3. 由於(a)式為真則保證(d)式為真，故(d)式可去除。

最後將(e’)與(a)相加、(f’)與(a)相加，可以得到

2a+b+d＜2c+b+d

2a+c+d＜2b+c+d

又因一開始的假設為a，故a為最短桿桿長。再回頭看(a)、(e’)、(f’)：三個不等式的左手邊皆為(a+另一桿桿長)，其中一式必定代表(最短桿桿長+最長桿桿長)< (另兩桿桿長相加)。故最後得到

s+l＜p+q

其中s=a為最短桿桿長、l為最長桿桿長、p和q為另兩桿桿長。

　　注意上述論證有AB桿長小於接地桿桿長的假設，且在此假設下所得到的最後結果顯示最短桿必接在接地桿上。若要將此公式推廣（最短桿可能為接地桿或連結桿），只要將觀察者改設成與AB桿或BC桿或CD桿一起移動（也就是將座標系改架在AB桿或BC桿或CD桿上）即可，且將此公式推廣的同時，亦可得知最短桿兩端的旋轉結必可作360度旋轉的訊息。